Verkenning van Dijkstra’s Algoritme: Grondige Uitleg en Praktisch Voorbeeld

Inleiding tot het kortstepadprobleem

Het kortste padprobleem is een klassiek probleem in de grafentheorie, dat bestaat uit het vinden van het kortste pad tussen twee hoekpunten van een gewogen grafiek. Een grafiek is een wiskundige structuur die bestaat uit knooppunten (of hoekpunten) die met elkaar zijn verbonden door randen (of schakels). Grafieken kunnen gericht zijn of niet, afhankelijk van het feit of de randen een richting hebben of niet. In een gewogen grafiek heeft elke rand een waarde die een gewicht wordt genoemd en die doorgaans de afstand of kosten vertegenwoordigt die aan die verbinding zijn gekoppeld.

Het algoritme van Dijkstra

Het algoritme van Dijkstra, uitgevonden door Edsger W. Dijkstra in 1956, is een van de bekendste oplossingen voor dit probleem. Dit is een hebzuchtig algoritme dat geleidelijk een subgraaf construeert met de minimale afstanden van een bronpunt tot alle andere hoekpunten in de grafiek.

Om te begrijpen hoe dit algoritme werkt, zullen we een concreet voorbeeld gebruiken waarbij steden als knooppunten en wegafstanden als gewichten worden gebruikt.

Praktijkvoorbeeld: wegennetwerk tussen steden

Laten we ons voorstellen dat we het volgende wegennet hebben:

• Stad A: punt van herkomst
• Stad B: afstand 10 km vanaf A
• Stad C: afstand 20 km van A, 5 km van B
• Stad D: afstand 30 km van A, 15 km van B, 10 km van C

Stappen van Dijkstra’s algoritme

Het algoritme van Dijkstra volgt de volgende stappen:

1. Initialisatie: aan elk hoekpunt wordt een voorlopige waarde toegewezen die overeenkomt met de afstand tussen dit hoekpunt en het oorsprongspunt. Voor het oorsprongspunt is deze waarde nul. Voor alle andere hoekpunten is het oneindig.
2. Selectie van het niet-bezochte knooppunt met de kleinste voorlopige waarde (we kiezen in eerste instantie het punt van oorsprong).
3. Voor elke buurman van het geselecteerde knooppunt:
   1. Bereken de nieuwe afstand die door het geselecteerde knooppunt gaat.
   2. Update de voorlopige waarde als deze nieuwe afstand kleiner is dan de oude.
4. Markeer het geselecteerde knooppunt als bezocht.
5. Herhaal stap 2 tot en met 4 totdat alle knooppunten zijn bezocht of de gewenste bestemming is bereikt.

Illustratie van de stappen met ons concrete voorbeeld

In ons voorbeeld zoeken we naar het kortste pad tussen stad A (oorsprongspunt) en stad D (bestemming). Hier is hoe het algoritme van Dijkstra werkt:

Stap 1: Initialisatie